前言
本文我们来研究一下实数域上两个特殊的含参反常积分。
一、Gamma函数：$\Gamma(s)$
定义1：Gamma函数
称积分：
$$ \Gamma(s)=\int_0^{+\infty} t^{s-1}e^{-t}\text dt $$
为Gamma函数（Euler第二型积分）。其曲线形如：
定理1：$\Gamma(s)$定义域为$s>0$
证明：
对于$\Gamma(s)$，我们有：
$$ \Gamma(s)=\underbrace{\int_0^{1} t^{s-1}e^{-t}\text dt}_{I_1}+\underbrace{\int_1^{+\infty} t^{s-1}e^{-t}\text dt}_{I_2} $$
对于$I_2$，我们知道：
$$ \lim_{t\to +\infty} t^{s-1}e^{-t}\cdot t^2=0 $$
所以对于充分大的$t$，有：
$$ t^{s-1}e^{-t}\leq t^{-2} $$
因此$I_2$不论$s$为何值都是收敛的。我们再来看$I_1$。显然在$s\geq 1$时$I_1$收敛，而当$s<1$时，$t=0$是瑕点。注意到：在$t\to 0^+$时，有：$t^{s-1}e^{-t}\sim t^{s-1}$，因此在$0<s<1$时$I_1$收敛。同时易证$s<0$时$I_1$发散。
综上，$\Gamma(s)$在$s>0$时收敛。
定理2：$\Gamma(s)$在定义域内连续，且有各阶连续导数
证略。
定理3：$\Gamma(s)$在定义域内严格凸
在这篇文章中，我们介绍了凸函数：
易证$\Gamma''(s)>0$且连续，由凸函数的定义2.1.1.4可知$\Gamma(s)$在$s>0$上严格凸。
定理4：$\Gamma(s)$的三条性质
（1）$\forall s>0,\Gamma(s)>0,\Gamma(1)=1$
（2）$\forall s>0,\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$
（3）$\ln \Gamma(s)$在$(0,+\infty)$是凸函数
证明：
（1）易证
（2）由分部积分易证
我们来证明（3）。由凸函数的定义2.1.1.1，只需证明：
$$ \begin{align} \ln \Gamma\left(\frac{s_1}{p}+\frac{s_2}{q}\right)\leq\frac{1}{p}\ln \Gamma(s_1)+\frac{1}{q}\in\Gamma(s_2)\\ where:\ p,q>1,p^{-1}+q^{-1}=1,s_1,s_2>0 \end{align} $$
应用我们在这篇文章中介绍的无穷积分的Hölder不等式：
我们有：
$$ \begin{align}\Gamma\left(\frac{s_1}{p}+\frac{s_2}{q}\right)&=\int_0^{+\infty} t^{s_1p^{-1}+s_2q^{-1}-1}e^{-t}\text d t\\ &=\int_0^{+\infty} \left(t^{(s_1-1)p^{-1}}e^{-tp^{-1}}\right) \left(t^{(s_2-1)q^{-1}}e^{-tq^{-1}}\right)\text d t\\ &\color{Red}\leq \left(\int_0^{+\infty}t^{s_1-1}e^{-t}\text d t \right)^{p^{-1}}\left(\int_0^{+\infty}t^{s_2-1}e^{-t}\text d t \right)^{q^{-1}}\\ &=\left(\Gamma{(s_1)}\right)^{p^{-1}}\left(\Gamma{(s_2)}\right)^{q^{-1}} \end{align} $$
有趣的是，定理4反过来也是成立 ，我们有：
定理5：Bohr-Mullerup 定理
设$(0,+\infty)$上的函数$f$满足：
（1）$f>0,f(1)=1$
（2）$f(x+1)=xf(x)$
（3）$\ln f$是凸函数
则$f(x)=\Gamma(x)$对所有$x>0$成立。
定理6：$\Gamma$函数与阶乘的关系
对$x>0$有：
$$ \Gamma(x)=\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{n^x n!}{x(x+1)\cdots(x+n)} $$
事实上，Gamma函数正是Euler在研究阶乘函数时给出的在正半轴的延拓结果，因为：
$$ \Gamma(n)=(n-1)! $$
定理7：加倍公式
对任意的$s>0$有：
$$ \Gamma(2s)=\frac{2^{2s-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(s)\Gamma\left(s+\frac{1}{2}\right) $$
证明也很简单，记等式右边为$f(2s)$，取$p=2s$，再利用定理5：Bohr-Mullerup 定理说明$f(p)=\Gamma(p)$即可。
定理8：余元公式
对任意$p\in (0,1)$，有：
$$ \Gamma(p)\Gamma(1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi} $$
证明需要用到我们第二部分介绍的Beta函数。
定理9：Stirling定理
对任意$x>0$，存在$\theta(x)\in (0,1)$使得：
$$ \Gamma(x+1)=\sqrt{2\pi x}\left(\frac{x}{e}\right)^x \exp\left(\frac{\theta(x)}{12x}\right) $$
事实上这正是著名的Stirling公式一个更精细的结果。Stirling公式：
$$ n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n,\ n\in \boldsymbol{N}_+,\ n\to +\infty $$
定理9的证明较为复杂，参见中科大史济怀老师《数学分析教程 第3版》第392-395页。
二、Beta函数：$\text B(p,q)$
定义2：Beta函数
称积分：
$$ \text B(p,q)=\int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1} \text dt $$
为Beta函数（Euler第一型积分）。
定理10：$\text B(p,q)$定义域为$p>0,q>0$
类似Gamma函数敛散性的分析，将Beta函数分为两部分讨论即可。
定理11：Beta函数的性质
（1）$\text B(p,q)$在$(0,+\infty)\times (0,+\infty)$连续且有各阶连续偏导数
（2）$\text B(p,q)=\text B(q,p)$
（3）对任意$p,q>0$有：
$$ \text B(p+1,q+1)=\frac{pq}{(p+q)(p+q+1)}\text B(p,q) $$
（4）$\ln \text B(p,q)$关于$p$或$q$是凸的
定理12：Gamma函数与Beta函数的关系
对任意$p,q>0$有：
$$ \text B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} $$
证明：
我们相对固定$q$，令：
$$ f(p)=\frac{\Gamma(p+q)\text B(p,q)}{\Gamma(q)} $$
只需证明$f(p)=\Gamma(p)$也即证明$f(p)$满足定理5：Bohr-Mullerup 定理中三个条件即可。我们有：
$$ \begin{align} f(p+1)&=\frac{1}{\Gamma(q)}\Gamma(p+q+1)\text B(p+1,q)\\ &=\frac{1}{\Gamma(q)}(p+q)\Gamma(p+q)\cdot \frac{p}{p+q}\text B(p,q)\\ &=pf(p) \end{align} $$
而：$\text B(1,q)=\int_0^1 (1-t)^{q-1}\text d t=q^{-1}$，所以：
$$ f(1)=\frac{\Gamma(1+q)\text B(1,q)}{\Gamma(q)}=1 $$
其余条件易证，从而定理12得证。
三、应用
（1）$n$维标准Euclid球的体积
$\mathbb{R}^n$中的标准球定义为：
$$ \mathcal{B}_n(r)=\{\boldsymbol{x}|||\boldsymbol{x}||_2^2\leq r\} $$
其中原点为球心，$r$为半径。其体积为：
$$ \mu(\mathcal{B}_n(r))=\int_{\mathcal{B}_n(r)}\text d \mu $$
换元有：$\mu(\mathcal{B}_n(r))=r^n\mu(\mathcal{B}_n(1))$。我们先从积分的视角给出结果。我们可以将这个$n$重积分转化为一个$n-2$重积分与一个二重积分：
$$ \mu(\mathcal{B}_n(1))=\iint\limits_{t_{n-1}^2+t_n^2\leq1}\text dt_{n-1}\text d t_n\int\cdots\int_{\mathcal{K}_{n-2}} \text dt_1\cdot\text d t_{n-2}\tag{1} $$
其中：$\mathcal{K}_{n-2}=\mathcal{B}_{n-2}\left(\sqrt{1-t_{n-1}^2-t_n^2}\right)$。因此，
$$ \mu(\mathcal{K}_{n-2})=\left(\sqrt{1-t_{n-1}^2-t_n^2}\right)^{n-2}\mu(\mathcal{B}_{n-2}(1)) $$
所以式（1）可写为：
$$ \begin{align} \mu(\mathcal{B}_n(1))&=\mu(\mathcal{B}_{n-2}(1))\iint\limits_{t_{n-1}^2+t_n^2\leq1}\left(1-t_{n-1}^2-t_n^2\right)^{\frac{n-2}{2}}\text dt_{n-1}\text d t_n\\ &=\mu(\mathcal{B}_{n-2}(1))\color{Red}{\int_0^{2\pi}\text d \theta\int_0^1 (1-a^2)^{\frac{n-2}{2}}}a\text da\\ &=\frac{2\pi}{n}\mu(\mathcal{B}_{n-2}(1)) \end{align} $$
又：$\mu(\mathcal{B}_1(1))=2,\mu(\mathcal{B}_2(1))=\pi$，所以：
$$ \mu(\mathcal{B}_n(r))=\begin{cases} \frac{\pi^k}{k!}r^{2k},&n=2k\\ \frac{2^k\pi^{k-1}}{(2k-1)!!}r^{2k-1},&n=2k-1 \end{cases}\tag{2} $$
式（2）有没有更加优雅的形式呢？我们考虑Gamma函数。当$n=2k$时，
$$ \mu(\mathcal{B}_n(r))=\frac{\pi^k}{\Gamma\left(k+1\right)}r^{2k}=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1 \right)}r^n $$
而当$n=2k-1$时，有：
$$ \begin{align} \mu(\mathcal{B}_n(r))&=\frac{\pi^{k-1}r^{2k-1}}{\frac{(2k-1)\cdots3\cdot1}{2}}\\ &=\frac{\pi^{k-\color{Red}\frac{1}{2}}r^{2k-1}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)\cdots\frac{3}{2}\cdot{\frac{1}{2}}\cdot\underbrace{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}_{=\sqrt{\pi}}}\\ &=\frac{\pi^{k-\frac{1}{2}}}{\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)}r^{2k-1}\\ &=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1 \right)}r^n \end{align} $$
因此不论$n$为偶数还是奇数都有：
$$ \mu(\mathcal{B}_n(r))=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1 \right)}r^n $$
（2）$n$维标准Euclid球的表面积
$\mathcal{B}_n(r)$的表面积为：
$$ \sigma(\mathcal{B}_n(r))=\frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}r^{n-1} $$
