前言
本章介绍布朗运动与随机分析基础。
随机游动
我们首先来看一个简单的随机过程。设在一维数轴上原点处有一质点在直线上的整数点间随机游动，即每过$\Delta t$时间坐标或加$\Delta x$，或减$\Delta x$，且概率相等。我们记：
$$ X_n=\begin{cases} 1,\;第n次质点右移一步\\ -1,\;第n次质点左移一步\\ \end{cases} \quad (n\geq 1) $$
显然$X_n,n\geq 1$相互独立，且：$P(X_n=1)=P(X_n=-1)=\frac 12$。该随机过程：$\{X(t)|t=n\Delta t,n\geq 1\}$称为简单对称随机游动，其中$X(t)$表示在$t$时刻下质点的位置（坐标）。有：
$$ X(t)=\Delta x(X_1+\cdots+X_n)\tag 1 $$
注意到$\mathbb E[X_n]=0,\;\mathbb D[X_n]=1$，所以：
$$ \mathbb E[X(t)]=0,\quad \mathbb D[X(t)]=(\Delta x)^2 n\tag 2 $$
我们令$\Delta t\to 0$以考察$X(t)$的极限分布，并且进一步假设：$(\Delta x)^2/\Delta t=D$。此时我们有：
$$ \lim_{\Delta t\to 0}\mathbb E[X(t)]=0,\quad \lim_{\Delta t\to 0}\mathbb D[X(t)]=Dt\tag 3 $$
又由$X(t)=\sum_{i=1}^n \Delta xX_i$为独立同分布随机变量之和，由中心极限定理：${\color{Red}X(t)\sim N(0,Dt)}$。
扩散
接下来我们来看另外一种描述。设在0时刻原点处有一定量的粒子，考察其在一维直线上扩散过程，假定各粒子的扩散运动是独立同分布的。设有时刻$\tau$，设某粒子在$\tau$时刻下运动到$y$坐标的概率为$\rho(y)$，显然$\rho(y)\geq 0,\;\int_{-\infty}^{+\infty}\rho(y)\text dy=1$，且$\rho(y)=\rho(-y)=0,\;\mathbb E[\rho(y)]=0$。不妨假设：$\mathbb D[\rho(y)]=\int_{-\infty}^{+\infty}y^2\rho(y)\text dy=D$，即方差为常数。
设$f(x,t)$为$t$时刻在$x$处粒子的数量，$f(0,0)=c$。为了求解$f(x,t)$，我们需要考察“守恒量”。注意到：
$$ f(x,t+\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x-y,t)\rho(y)\text dy\tag 4 $$
等式左边Taylor展开得：
$$ f(x,t+\tau)=f(x,t)+\frac{\partial f}{\partial t}\cdot \tau+o(t)\tag 5 $$
而等式右边积分项展开得：
$$ f(x-y,t)=f(x,t)-\frac{\partial f}{\partial x}\cdot y+\frac 12 \cdot\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\cdot y^2+o(y^2)\tag 6 $$
由于$\mathbb D[\rho(y)]$是常数，我们可以认为$y$普遍较小，从而Taylor展开是可以接受的。将（5）（6）代回（4）：
$$ f(x,t)+\frac{\partial f}{\partial t}\cdot \tau=\int_{-\infty}^{+\infty}\rho(y)\left[f(x,t)-\frac{\partial f}{\partial x}\cdot y+\frac 12\cdot\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\cdot y^2 \right]\text dy\tag 7 $$
代入$\rho(y)$均值与方差的假设，可得关于$f(x,t)$的偏微分方程：
$$ \frac{\partial f}{\partial t}=\frac{D}{2\tau}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\tag 8 $$
记$C=\frac{D}{2\tau}$，解之得：$f(x,t)\sim N(Ct)$。
布朗运动
上述两个例子我们分别从直观与统计两个角度刻画了布朗运动，我们现给出其定义：
定义5.1：布朗运动
设有随机过程$\{B(t)|t\geq 0 \}$，若其满足：
（1）$B(0)=0$；
（2）$B(t)$为独立增量过程；
（3）$B(s+t)-B(s)\sim N(0,c^2t)\quad (c>0)$。
则称$\{B(t)|t\geq 0 \}$为布朗运动或维纳过程。
若$c=1$，则称该布朗运动为标准布朗运动，此时$B(t)\sim N(0,t)$，其一维分布密度为：
$$ p(x;t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^2}{2t}} $$
定理5.2：布朗运动的有限维分布
设有标准布朗运动$\{B(t)|t\geq 0 \}$，$\forall 0<t_1<\cdots<t_n$，$\{B(t_1),\cdots,B(t_n) \}$的联合分布为：
$$ g(x_1,\cdots,x_n;t_1,\cdots,t_n)=\prod_{i=1}^n p(x_i-x_{i-1};t_i-t_{i-1})\tag{9} $$
其中$x_0=0;t_0=0$。
Proof:
记：$Y_i=B(t_i)-B(t_{i-1}),i= 1,\cdots,n$。由$B(t)$为独立增量，则$Y_1,\cdots,Y_n$相互独立，且$Y_i\sim N(0,t_i-t_{i-1})$。（独立正态分布的线性性质）所以$\{Y_1,\cdots,Y_n\}$的联合分布：
$$ f(y_i,\cdots,y_n)=\prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi(t_i-t_{i-1})}}\exp\left(-\frac{y_i^2}{2(t_i-t_{i-1})} \right)\tag{10} $$
为了求解$\{B(t_1),\cdots,B(t_n) \}$的联合分布我们需要回顾随机变量函数的分布：
设有随机向量：
$$ \left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right) \sim f_{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), \\ \left(Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}\right) \sim f_{Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}}\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right) $$
由 ${\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right)}$ 到 ${\left(Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}\right)}$ 为可逆变换（一一对应）关系： ${Y_{i}=g_{i}\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right)(i=1,2, \cdots n)}$，且逆变换为 ${X_{i}=h_{i}\left(Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}\right)}$ ${(i=1,2, \cdots, n)}$。假定 ${x_{i}=h_{i}\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)(i=1,2, \cdots, n)}$ 皆具有连续的一阶偏导数，则：
$$ f_{Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}}\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right) =\begin{cases} f_{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}}\left(h_{1}, h_{2}, \cdots, h_{n}\right)\cdot\det(\boldsymbol J) &,\;\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right) \in V \\ 0&,\;\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right) \notin V \end{cases} $$
其中$h_{i}=h_{i}\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)(i=1,2, \cdots, n)$ ，$V$为$Y$的值域空间，$\boldsymbol J$定义如下：
$$ \boldsymbol J= \begin{bmatrix} \frac{\partial h_{1}}{\partial y_{1}} &\frac{\partial h_{1}}{\partial y_{2}} & \cdots & \frac{\partial h_{1}}{\partial y_{n}}& \\ \frac{\partial h_{2}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial h_{2}}{\partial y_{2}} & \cdots & \frac{\partial h_{2}}{\partial y_{n}} &\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots& \\ \frac{\partial h_{n}}{\partial y_{1}}& \frac{\partial h_{n}}{\partial y_{2}} & \cdots & \frac{\partial h_{n}}{\partial y_{n}}&\\ \end{bmatrix} $$
因此易证（9）式成立。由上述证明过程可知，$B(t)$为一高斯过程。接下来我们考察：$P(B(t_0+t)|B(t_0))$。设有$B(t_0)=x_0$，则$B(t_0+t)\; (t>0)$的条件概率为：
$$ f(x,t|x_0)=\frac{g(x_0,x;t_0,t_0+t)}{g(x_0;t_0)}=p(x-x_0;t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(x-x_0)^2}{2t}}\tag{11} $$
易知，在已知$B(t_0)=x_0$的情况下，$B(t_0+t)$大于或小于$x_0$的概率均为$\frac 12$，其可视为简单对称随机游动模型的推广。
更一般地，我们拓展条件。在已知$B(t_1)=x_1,\cdots,B(t_n)=x_n$的条件下$B(t_{n+1})$的条件概率为：
$$ f(x_{n+1},t_{n+1}|x_1,\cdots,x_n)=\frac{g(x_1,\cdots,x_{n+1};t_1,\cdots,t_{n+1})}{g(x_1,\cdots,x_n;t_1,\cdots,t_n)}=p(x_{n+1}-x_n;t_{n+1}-t_n){\color{Red}=f(x_{n+1},t_{n+1}|x_n)}\tag{12} $$
这也意味着$\{B(t) \}$是一个时齐的Markov过程。
综合上述的分析，我们可以看出布朗运动为何是（最）重要的随机过程了，它是一个平稳独立增量过程；高斯过程；以及（连续时间连续状态）Markov过程。
最后我们来分析布朗运动的统计性质。显然地：
$$ \mathbb E[B(t)]=0,\quad \mathbb D[B(t)]=\mathbb E[B(t)^2]=t\;(t>0)\tag{12} $$
又由独立增量：$Cov(B(t),B(s))=\min\{s,t \}$。
布朗运动轨道的性质
我们首先介绍$p$阶变差的概念。
定义5.2：$p$阶变差
设有常数$T>0$，取$[0,T]$上的划分$0\leq t_0<t_1<\cdots<t_n=T$，记$\| \Pi\|$为所有子区间长度的最大值，即$\|\Pi \|=\max_{j=0,\cdots,n-1}\{t_{j+1}-t_j \}$。则称$f$的$p$阶变差为：
$$ V_T^p(f)=\lim_{||\Pi||\rightarrow0}\sum_{j=0}^{n-1}{|f(t_{j+1})-f(t_j)|^p}\tag{13} $$
下面我们不加证明地给出$B(t)$作为$t$的函数的性质。
定理5.3：布朗运动样本轨道的性质
（1）布朗运动的平移、尺度不变性：$\{B(t+\tau)-B(\tau) \}.\;\{\frac{1}{\sqrt\lambda}B(\lambda t) \},\;\{tB(1/t) \}$均为布朗运动。其中$t\geq 0,\tau,\lambda>0,tB(1/t)|_{t=0}=0$。
（2）$B(t)$关于$t$连续；
（3）布朗运动任意处不存在有限导数，一阶变差无穷：
$$ \forall 0=t_{j_0}<\cdots <t_{j_n}=t,\; V_{t}^1(B(t))=\lim_{\|\Pi\|\to 0}\sum_{k=0}^{n-1}|B(t_{j_{k+1}})-B(t_{j_k}) | = \infty\tag{14} $$
（4）二阶变差均方收敛于区间长度：
$$ \forall 0=t_{j_0}<\cdots <t_{j_n}=t,\; V_{t}^2(B(t))=\lim_{\|\Pi\|\to 0}\sum_{k=0}^{n-1}\Big(B(t_{j_{k+1}})-B(t_{j_k}) \Big)^2 =t \tag{15} $$
（5）三阶变差为0：
$$ \forall 0=t_{j_0}<\cdots <t_{j_n}=t,\; V_{t}^3(B(t))=\lim_{\|\Pi\|\to 0}\sum_{k=0}^{n-1}\Big(B(t_{j_{k+1}})-B(t_{j_k}) \Big)^3 =0 \tag{16} $$
Ito随机积分
我们从动力学的角度引入伊藤积分。设有一个带阻力的牛顿力学系统：
$$ m \frac{d v}{d t}=\zeta v+F(t)\tag{17} $$
其中$\zeta v$表示阻力，$F(t)$表示外加动力。为了模拟真实情况，我们给动力加上随机噪声：
$$ m \frac{d v}{d t}=\zeta v+\delta \cdot F(t)\tag{18} $$
我们假定噪音构成的随机过程是平稳、独立、均值为零、任意时刻满足正态分布的。一个自然的选择是一个布朗运动的微小增量：
$$ \delta=\Delta B(t)\tag{19} $$
因此我们需要求解：$\int_{0}^t F(u)\text dB(u)$。但由于布朗运动不可微（几乎处处），因此我们需要仿照R-S积分定义一种新的积分形式，来研究以某个随机过程为权重的“带权求和”，这就是伊藤随机积分。
设有概率空间$(\Omega,\mathscr{F},P)$上的两个随机过程$\{B(t)|t\geq 0 \},\{g(t)|t\geq 0 \}$，其中$B(t)$为标准布朗运动。又设$\mathscr F_t$为$B(t)$生成的$\mathscr F$的一个子$\sigma$-域。基于$\{\mathscr F_t|t\geq 0 \}$我们进一步假设：
（1）对$\forall t\geq 0$，$g(t)$关于$\mathscr F_t$可测；
（2）对于$\forall t\geq 0$，$\mathbb E[g^2(t)]<\infty,\;\int_{0}^t \mathbb E[g^2(u)]\text du<\infty$。
现在我们定义伊藤积分。
定义5.2：Ito积分
设有标准布朗运动$\{B(t)|t\geq 0 \}$，$\{g(t)|t\geq 0 \}$满足上述两个假设。对$\forall t>0$，取$[0,t]$上的分割：$0=t_0<t_1<\cdots<t_n=t$。记$\|\Pi \|=\max_{j=0,\cdots,n-1}\{t_{j+1}-t_j \}$。若：
$$ \sum_{k=1}^n g(t_{k-1})\Big(B(t_k)-B(t_{k-1}) \Big)\tag{20} $$
当$\|\Pi \|\to 0$时均方极限存在。则记该极限为$\{g(t)|\geq 0\}$关于$\{B(t)|t\geq 0 \}$在区间$[0,t]$上的伊藤随机积分，记为：
$$ I_g(t)=\lim_{\|\Pi \|\to 0}\sum_{k=1}^n g(t_{k-1})\Big(B(t_k)-B(t_{k-1}) \Big)\tag{21} $$
在不引起歧义的情况下可记为：$\int_{0}^t g(s)\text dB(s)$。
在伊藤积分中，$g$取的是左端点的函数值$g(t_{k-1})$，而R-S积分的值和被积项在区间中的取值点无关。这是由于布朗运动的一阶变差无穷，一般的伊藤积分的自变量是时间，我们选择最左端，也就是选择了时间的起点，因为我们无法根据未来的信息来做决策。
定理5.3：Ito积分的性质
（1）线性：$\int_{0}^t (af(s)+bg(s))\text dB(s)=a\int_0^t f(s)\text dB(s)+b\int_0^t g(s)\text dB(s)$
（2）区间可加：$\int_{0}^t g(s)\text dB(s)=\int_0^{t_1}g(s)\text dB(s)+\int_{t_1}^t g(s)\text dB(s)$
（3）$\mathbb E[I_g(t)]=\mathbb E[\int_{0}^t g(s)\text dB(s)]=0$
（4）伊藤等距：
$$ \mathbb D[I_g(t)]=\mathbb E[I^2_g(t)]=\mathbb E\left[\left(\int_0^tg(s)\text dB(s)\right)^2 \right]=\mathbb E\left[\int_0^t g^2(s)\text dB(s) \right]\tag {22} $$
定理5.4：Ito微分变换定理
（1）$(\text dt)^2=0$
（2）${\color{Red}(\text dB(s))^2=\text dt}$
（3）$\text dt\text dB(s)=0$
其中（2）式是伊藤随机积分中（最）重要的定理，而其证明是显然的：由布朗运动二阶变差均方收敛于区间长度（定理5.3（4）），再将$t$换为$\text dt$即可。（2）给出了伊藤积分与积分布朗运动的关系，从而将Ito积分与R-S积分深刻地联系起来。
此处我们补充积分布朗运动的相关知识。
现在我们可以求解诸如$\int_{0}^t g(s)\text dB(s)$形式的积分了，例如：
$$ \int_{0}^t B(s)\text dB(s)=\frac{1}{2}B^2(t)-\frac 12t\tag{23} $$
此时我们选择的是左端点$B(t_{k-1})$，若选择的是右端点$B(t_k)$或者中点$\frac 12[B(t_{k-1})+B(t_k)]$和式结果又会如何？留待读者自行探究。
