前言
本章我们介绍泊松过程。
Poisson过程的定义
定义3.1：计数过程
设有过程$N=\{N(t)|t\in T\}$，若$N(t)$表示$[0,t]$时间内发生某种事件的总数，则称$N(t)$为一计数过程或点过程。
显然地，根据定义我们有：
（1）$N(t)\in \boldsymbol Z_+$；
（2）若$s,t\in T,s< t$，则$N(s)<N(t)$，且$N(t)-N(s)$表示时段$(s,t]$内事件发生的总数。
定义3.2：Poisson过程
设有一计数过程$N(t)$，若：
（1）$N(0)=0$;
（2）$N(t)$为独立增量过程，即$\forall t_1<t_2\leq t_3<t_4 \in T,\ N(t_4)-N(t_3)\perp \!\!\! \perp N(t_2)-N(t_1)$，也即前一段时间发生的事件不会对后续时段产生影响。（其中$\perp \!\!\! \perp$表示相互独立，LaTex代码为：\perp \!\!\! \perp）
（3）$N(t)$为平稳增量过程，即$N(t_1+s)-N(t_1)\overset{\underset{\mathrm{d}}{}}{=}N(t_2+s)-N(t_2)$，也即某一时段事件发生的次数仅与该时段的长度有关。(其中$\overset{\underset{\mathrm{d}}{}}{=}$表示同分布)
（4）$N(t)$具有稀疏性，解析地而言：
$$ \lim_{\Delta t\to 0}\frac{P(N(\Delta t)\geq 2)}{P(N(\Delta t)=1)}=0\tag 1 $$
则称该过程为 Poisson过程。可以证明：
$$ P(N(t)=n)=\frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{(-\lambda t)}\tag 2 $$
也即：$N(t)\sim P(\lambda t)$。（证明可见 [1]P40-41与 [2]0:22:46至1:38:00）
由泊松过程的表达式易解出：$\mathbb E[N(t)]=\lambda t,\mathbb D[N(t)]=\lambda t$，因此：$\lambda =\mathbb E[N(t)]/t$代表了事件发生的频繁程度，从而我们称$\lambda$为“强度”或“速率”。
例3.1：
设打印600页出现了240个错误，试用泊松过程近似求解连续打印三页无错误的概率。
解：设$N(t)$为打印$t$页的错误数，将$\{N(t)|t\geq 0\}$视作一泊松过程，其强度为$\lambda=240/600=0.4$，从而：
$$ P(N(t+3)-N(t)=0)=P(N(3)=0)=e^{(-0.4\times 3)}\approx 0.3012\tag 3 $$
事件间隔与等待时间
我们记$W_n(n\geq 0)$为第$n$个事件发生的事件（又称到达时间或等待时间），$W_0=0$；而记$X_n=W_n-W_{n-1}(n\geq 1)$为第$n-1$个事件发生到第$n$个事件发生之间的间隔。容易看出$\{W_n|n\geq 0\}$与$\{X_n|n\geq 1 \}$之间具有非常强的关联，具体地：
定理3.1：Poisson过程事件间隔与等待时间之间的关系
设有一泊松过程$\{N(t)|t\geq 0 \}$，强度为$\lambda$，则：
（1）$X_1,\cdots,X_n \overset{\underset{\mathrm{i.i.d}}{}}{\sim}E(\lambda)$，也即所有间隔独立同分布服从参数为$\lambda$的指数分布；
（2）当$n\geq 1$时，$W_n=\sum_{i=1}^n X_i\sim \Gamma(\lambda,n)$，其中Gamma分布的概率密度函数为：
$$ f(x)=\frac{\lambda^nx^{n-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma(n)},\ \Gamma(n)=(n-1)!,\ where\ n\in\{1,2,\cdots \} \tag{4} $$
（1）的证明可见 [1]的P43-44，我们现在来证明（2）。注意到：
$$ F_{W_n}(t)=P(W_n\leq t)=P(N(t)\geq n)=\sum_{k=n}^{+\infty} \frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t}\tag{5} $$
所以，对（5）式左右两端求导有：
$$ \begin{align} f_{W_n}(t)=\frac{\text d}{\text d t}F_{W_n}(t)&=\sum_{k=n}^{+\infty}\left[\lambda\frac{(\lambda t)^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda t}-\lambda\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t} \right]\\ &=\lambda \frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda t}-\underbrace{\lim_{k\to +\infty}\lambda \frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t}}_{0} \end{align}\tag 6 $$
证毕。
Poisson过程的推广
定义3.2：非齐次Poisson过程
如果Poisson过程不满足平稳性，即其强度随时间变化：$\lambda=\lambda(t)$，其余条件不变，此时称该过程为 非齐次Poisson过程。若记：$m(t)=\int_0^t \lambda(s)\text ds$，则该非齐次泊松过程的表达式为：
$$ P(N(t+s)-N(s)=n)=\frac{[m(t+s)-m(s)]^n}{n!}e^{-[m(t+s)-m(s)]}\tag 7 $$
定义3.3：复合Poisson过程
设有一Poisson过程：$\{N(t)|t\geq 0 \}$，$X_1,\cdots$独立同分布，且$\{X_i|i\geq 1\}$与$\{N(t)|t\geq 0 \}$相互独立，记：
$$ Y(t)\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\sum_{i=1}^{N(t)}X_i, t\geq 0\tag 8 $$
为复合Poisson过程。
References
- 郑坚坚，随机过程，中国科学技术大学出版社
- 【随机过程 张颢 2020-2021学年-哔哩哔哩】 https://b23.tv/0uFCuX3 p10：泊松过程_1
- 概率论五：矩母函数与概率生成函数
