前言
本章我们开始介绍随机过程的基本概念。
随机过程
定义1.1：随机过程
设有概率空间$(\Omega,\mathscr{F},P)$与指标集$T\in \boldsymbol R$，则称随机变量族：
$$ X=\{X(t)|t\in T\}=\{X(t,\omega)|\omega\in \Omega,t\in T\}\tag 1 $$
为一随机过程，简称为过程。
可看出，随机过程的定义非常简单明了，直观而言，随机过程是一组随机变量的集合加上一个参数$t$（通常表示时间）。$T$一般是数集，如$\boldsymbol N,\boldsymbol N_+,\boldsymbol Z，\boldsymbol R,[a,b]$等。当$T$为离散数集时，通常称过程$X$为一随机序列，记为$X_n$；当$T$为高维点集时，称$X$为一随机场。
随机过程的分布与数字特征
定义1.2：随机过程的分布
设有随机过程$X=\{X(t)|t\in T\}$，定义$X$的一维分布（族）为：
$$ F_t(x)=P(X(t)\leq x),\ t\in T\tag 2 $$
$n$维（联合）分布（族)为：
$$ F_{t_1,\cdots,t_n}(x_1,\cdots,x_n)=P(X(t_1)\leq x_1,\cdots,X(t_n)\leq t_n)\tag 3 $$
定义1.3：随机过程的数字特征
设有随机过程$X=\{X(t)|t\in T\}$，称其均值函数为：
$$ \mu_X(t)=m_X(t)=\mathbb E[X(t)]\tag 4 $$
方差函数：
$$ \sigma^2_X(t)=\mathbb D[X(t)]\tag 5 $$
协方差函数：
$$ C_X(t_1,t_2)=cov(X(t_1),X(t_2))=\mathbb E[X(t_1)X(t_2)]-\mathbb E[X(t_1)]\mathbb E[X(t_2)]\tag 6 $$
有时我们也称：$R_X(t_1,t_2)=\mathbb E[X(t_1)X(t_2)]$为自相关函数。
$$
