前言
本章介绍随机变量的矩母函数与针对非负整数随机变量的概率生成函数。（了解为主）
矩母函数
定义5.1：随机向量的矩母函数
设有一随机变量$X$，若其为连续型，且期望：
$$ g(t)=g_X(t)=\mathbb E[e^{tX}]=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{tx} \text d F_X(x)\tag{1} $$
存在，则称$g(t)$为$X$的矩母函数。类似地，若$X$为离散型分布律$p_k=P(X=x_k),k=1,2,\cdots$，且期望：
$$ g(t)=g_X(t)=\mathbb E[e^{tX}]=\sum_{k=1}^{+\infty} e^{tk} p_k\tag 2 $$
存在，则称$g(t)$为$X$的矩母函数。
显然地，矩母函数刻画的是随机变量函数$e^{tX}$的期望。
定理5.1：随机变量矩母函数的性质
（1）（唯一性）设有两个随机变量$X,Y$，若其矩母函数$g_X(t),g_Y(t)$均存在且相等，则$p_X(x)=p_Y(y)$。
（2）$g(t)\in[0,1]$、在$[0,+\infty)$上连续、$g(0)=1$。
（3）设有两个独立的随机变量$X,Y$，若其矩母函数$g_X(t),g_Y(t)$均存在，则：
$$ g_{X+Y}(t)=g_X(t)\cdot g_Y(t)\tag 3 $$
（4）$\mathbb E[X^k]=g_X^{(k)}(0)$，即$X$的$k$阶原点矩等于$g_X(t)$在$0$处的$k$阶导数。
（5）（Bernstein）若连续函数$g(t), t\in[0,+\infty)$，$g(0)=1$，则$g(t)$是一个概率测度（随机变量）的矩母函数的充要条件为$g(t)$单调。
定理5.2：随机变量和的矩母函数
设有$N$个独立同分布的随机变量$X_1,\cdots,X_N$，则其和$Y=\sum_{i=1}^N$的矩母函数为$g_Y(t)=g_X^N(t)$。
概率生成函数
定义5.2：概率生成函数（母函数）
设有一非负整数随机变量$X$，分布律$p_k=P(X=x_k),k=0,1,\cdots$，若关于$s$的幂级数：
$$ \phi(s)=\phi_X(s)=\mathbb E[s^X]=\sum_{k=0}^{+\infty}p_k s^k,\ |s|\leq 1 \tag 4 $$
收敛，则称$\phi(s)$为$X$的概率生成函数（母函数）。
事实上容易看出母函数总是存在的：$\lim_{|s|\to 1}\phi_X(s)=P(X<+\infty)$。母函数与矩母函数相似，同样具有类似性质，此处不再展开。
